Libri di Beatrice Ruini

In questo fascicolo si mostra come a partire dalla geometria i concetti della teoria di spazio vettoriale euclideo reale permettano di ottenere i concetti di: spazio euclideo, ortogonalità tra sottospazi, angoli tra sottospazi, distanza tra sottospazi.

Questo è il quarto di una serie di fascicoli monotematici di matematica della Teoria di Algebra Lineare; il primo, ad esempio, riguarda la "Definizione di Spazi Vettoriali" il secondo tratta i "Sottospazi Vettoriali", il terzo "Basi di Sottospazi Vettoriali" e codesto di "Applicazioni Lineari".

In questo fascicolo a partire da esempi concreti e utilizzando la teoria degli spazi vettoriali si definisce il concetto di spazio geometrico (affine).

Questo fascicolo appartiene ad una serie di fascicoli monotematici di algebra lineare in cui si introduce la teoria delle matrici. In questo fascicolo si presentano le fondamenta della teoria delle matrici, teoria apparentemente astratta, ma in realtà utile per riuscire a manipolare, maneggiare, studiare molto più facilmente "oggetti concreti" di natura diversissima tra di loro. In questo fascicolo si introducono anche le basi della teoria dei sistemi lineari in quanto assumono un ruolo centrale sia in matematica pura sia, per le stesse ragioni di cui sopra, in ingegneria, informatica, fisica, architettura, economia, ecc.

Questo è il primo di una serie di fascicoli monotematici di matematica della Teoria di Algebra Lineare; il primo, ad esempio, riguarda solo la definizione di Spazio Vettoriale mentre il secondo tratta dell'argomento Sottospazi Vettoriali. Perché considerare in ogni fascicolo argomenti di breve trattazione sviluppabili solo in poche ore di lezione universitarie? Essenzialmente perché lo studente può scegliere solo il fascicolo del cui argomento è interessato, ad esempio perché ha mancato la lezione, o perché la lezione non é stata sufficientemente chiara, o per ampliare la trattazione dell'argomento svolto. Alcuni corsi universitari sono divisi in sottomoduli e ogni sottomodulo tratta argomenti specifici che a volte in un libro sono svolti in pochi capitoli se non in un solo capitolo. Se si hanno a disposizione solo libri, e non fascicoli come questo, lo studente per poter avere un testo di riferimento della materia svolta è talvolta obbligato ad acquistare un libro "intero", pur essendo interessato solo ad una parte di esso, a volte anche minima. La scelta del fascicolo ovvia questi problemi.

Questo fascicolo è il terzo di una serie di fascicoli monotematici riguardanti la Teoria degli Spazi Vettoriali. Nel primo fascicolo si è introdotta la definizione di una struttura algebrica denominata Spazio Vettoriale. Nel secondo si è definito il concetto di "sottospazio vettoriale", ovvero una sottostruttura algebrica con le stesse proprietà algebriche dello spazio ambiente. In questo fascicolo introduciamo e definiamo il concetto di "base di uno spazio vettoriale", che permette di descrivere tutti i vettori di uno spazio vettoriale. Si illustrano delle basi standard per gli spazi vettoriali Kn e Mm;n(K), e si esplicitano due metodi costruttivi per ottenere una base di uno spazio vettoriale. Mostriamo come, grazie ad una base di uno spazio vettoriale V è possibile identificare lo stesso spazio vettoriale V con lo spazio vettoriale Kn, dove n rappresenta la cardinalità della base di V e K è il campo di V . Si determina una relazione tra le cardinalità delle basi di sottospazi intersezione e sottospazi somma (Teorema di Grassmann). Si definiscono i legami tra due basi di uno stesso spazio vettoriale e si illustra un metodo per costruire una base a partire da una base data. In questo fascicolo faremo riferimento alle nozioni e notazioni di [R] e [R1] e si consiglia lo svolgimento degli esercizi di [BRS].

Questo fascicolo è il secondo di una serie di fascicoli monotematici riguardanti la Teoria degli Spazi Vettoriali. Nel primo fascicolo si è introdotta la definizione di una struttura algebrica denominata Spazio Vettoriale. In questo fascicolo si definisce un sottospazio vettoriale, ovvero una sottostruttura algebrica con le stesse proprietà algebriche dello spazio ambiente. Si mostra come costruire dei sottospazi vettoriali a partire da k vettori oppure da sottospazi vettoriali dati. Si introduce il concetto di lineare indipendenza e dipendenza di insiemi di vettori, si studiano dei criteri per stabilire la lineare dipendenza e indipendenza, infine si mostra come ottenere sottospazi vettoriali più grandi considerando dei vettori linearmente indipendenti e si determina il massimo numero vettori linearmente indipendenti esistenti in un sottospazio generato da k vettori. In questo fascicolo faremo riferimento alle nozioni e notazioni di [R].